チコ『 ねぇねぇ岡村～ どうして素数はランダムに現れるのぉ？ 』⇒
チコ『 ボーッと生きてんじゃ⌒●~*… 』⇒
チコ『 規則性を取り除いた “余りモノ” だから～！ 』と なります。
どういうことでしょうか？？
もしも、こんな問題を出されたらどうしますか？
＝＝ 素数を できるだけ多く書き記せ。＝＝
※ ただし 計算機の使用は認める。
おそらく、私はこの問題を誰よりも上手く解くことができます。
競技として認められるのであれば、ギネスブックにだって載ることができるでしょう。( 昨日までなら… ここに書いちゃったので⌒●~*)
この先を読み進める前に 是非、一度実際に試してみてください。
制限時間は20分
紙と鉛筆、計算機さえあれば、 誰にでも、試すことができます。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,・・・
いかがでしたか？ 幾つ書き出せましたか？
私なら その時間で、数百の素数を とめどなくスラスラと書き出すことができます。 しかも 延々と… です。
何なら 時間の許す限り、数千だって数万だって書き出せます。
かつてオイラーは、素数階段を一つづつ 手計算で進めたそうです。
つまり、逆に考えれば オイラーはこのヒサカの法則を知らなかったと言うことです。
順番に進めれば、計算なんて全く必要ないのです。
私が これを書き記す１番の目的はナッジです。
数学での躓きは その先へ進めなくなる事が多いのですが、イメージが掴みにくく解りにくい素数の法則を少しでもわかりやすく、あなたやまわりの人々 特に子どもたちの理解への一助とならんことを願っています。
では、いきますよ～！
その前に… 先ずは 全国の先生方に、
☆ 素数に関しては６進法で教えて！☆
人間が１０進法をつかっているのは、“たまたま指が１０本だったから” にすぎません、素数は６進法で教えないと 子どもたちにはイメージが掴みにくく いつまでたっても理解がすすみません。( 文部科学省 検討してね！)
＝☆☆ 素数に関しては、“２から始まる ６進法” で教えてください。☆☆＝
●画像3,左上●を確認ください。
＝ 素数についてわかること ＝
① ６進法ならば 素数は一目瞭然であり
② ５,７から始まる “２列の轍” となって確認できること
③ 轍ごとの個別の規則性があること
④ その “重なりと繰り返しの =余りが素数= ” であること
⑤ 5の列,7の列は 素数同士の掛け算の先であること(例外 2,3,)
⑥ 素数個々が “単位と起点” となるサイクロイド曲線で倍数が連なっていること
⑦ それは 誰もが知っている まさか？な あの玩具で簡単に延々と描き出せること
◎ 大きな素数 ２のn乗-1は そんなに確度がよくないみたい。(メルセンヌ素数は “７の列” にしか現れません)
◎ ウラムの螺旋に隠された意味があるのか もう一度考えてみて。●画像9,10,●を確認ください。
◎ ゴールドバッハ予想は６で割った余りによって組み合わせ数が違う。●画像7,8,●を確認ください。
説明を分かりやすくするために、ヒサカの６面鏡というものを使います。
●画像1,2,●を確認ください。
＝＝ 実際にはカウントできないので 思考実験です。＝＝
正６角形に鏡を配置し、循環するようにレーザーでパルスをおくります。
この時、反射の回数を鏡ごとにカウントすると、６枚の鏡うち２枚の鏡でしか素数が現れないことがわかります。②●画像2,●を確認ください。(2,3を除く)
５枚目と7枚目の鏡です。 この２枚の鏡のカウントを順番に個別に書き出し、“素数卵” と呼ぶことにします。
卵にした理由は、孵らない可能性もあるからです。
画像２だと赤い数字が素数です。斜線をひいているものは素数同士の掛け算でたどり着いた数字で、素数ではありませんが、そこから “素数卵除外のサイクロイド周期の起点” となります。
●画像5,6,●を確認ください。
ここまでで分かることは、素数を理解するには ６進法が適していること、 ６で割って割りきれる数の 前後にしか現れないことです。① (2,3を除く)
●画像3,左上●を確認ください。
さらに、驚くことに個々の素数の “数だけ段数※をずらしてゆく” ことによって、その列で現れる倍数が一目瞭然なのです。
※ ６進法なので６単位で一段上がります。
例えば７は素数ですが、そこから７段進む※と以降は７段ごとの一定の割合で 素数から除外する数の無限ループが出来上がるのです。
※ 7段 × 1ユニット6だから = 10進法だと 42進む(7段×6) つまり、はじめの 7 に42を足した 49 から７を約数とする無限ループが ７の列で始まる。
７の列の７の次の素数は13ですが、今度は13段づつの無限ループです。 数自体が段数を指定しているのです。
そして その周期を延々と繰り返します。③④
●画像3の下 ●を確認ください。
●画像5,6,●を確認ください。
☆ この周期を 便宜上、素数の “歩幅” と呼ぶことにします。☆
☆ 歩幅(ほはば)の単位は “素数の数自体” です。☆
☆ その数は“６進法の段数に対応” します。☆
私はこのヒサカの法則を知っていたからこそ、冒頭の問題を上手くとくことができたのです。
轍(わだち)の先に、延々と素数卵を書き出して、その素数ごとの歩幅の周期で素数卵を消していった残りが “ 素数 ” となるわけです。(冒頭参照)
＝ 計算なんか ただの一度もしない＝ で済むのです。
例えば、紙テープに１cmごとに素数卵を書き出します。
※ ５の列でも７の列でも構いませんが、別々に作業します。
７の列であれば７段ごとに７の倍数が出てくるので順番に削除します。
紙テープなので７㎝の厚紙にクルクル巻けば 一度にチェックできます。(コンパスでも同様)
７の列の次の素数は13(7+6)ですので、そこから13段ずらした場所から再び無限ループが始まります。
次の素数は19(7+6+6)ですので、また19段ずらした場所から無限ループです。
素数とは、こういった
☆☆ 単純で規則的に繰り返す構造を取り除いた “残りの数” なのです。☆☆
ならば、アレで簡単に描けるのでは？？
はぃ、その通り、スピログラフのギア数を素数にしておけば、 サイクロイド曲線で無限遠まで延々と発現箇所を見つけられるのです！⑦
くるくるするだけです。
●画像6,下側 連なる大縄・小縄●を確認ください。
なんで、誰も言わないんだ～！
また、便利な計算機の使い方も、お知らせしておきます。
＝ “これは一生使えます ” から入札してね！＝
同じ周期で どんどん数を足し重ねる方法です。
●画像4,の下●を確認ください。
６ ＋ ＋ ７ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ～ ７の列の場合
この方法で、“イコールボタン”を押す度に 設定した数を足すことができます。
７の列であれば、素数卵が順番に 7,13,19～と延々に出てきます。
今までみたいに ＋6= ＋6= ＋6= と押す必要はないんです。
※ この方法を応用することで 複利の計算にも利用できますよ。
では、素数列５,７の構造がわかったところで、いくつか応用してみましょう。
ナッジが目的なので、もうちょっと『 なるほど～ 』が欲しいですよね。。
素数卵は５または７に ６を延々と順番に足し重ねたものであり、 素数同士を掛けた先は、５または７に続くその２列にしか着地しないことがわかりました。
ならば、素数(2,3除く)の自乗は７の列にしか現れません。
５の列は 6n-1 ７の列は 6n+1 だからです。
だとすると５の列のほうが素数は少しだけ多いことになります。
確かめてみてください。
※ ４以上の偶数は ２つの素数の和で表すことができるという予想
※ ６の列は すべて６で割りきれる。=当然偶数=
すべての偶数が２つの素数の足し算で現せるのならば、 ６で割りきれる偶数は ５の列と７の列の組み合わせにしか ならないからです。
ざっくりとですが、確認してみましょう。
●画像7,8,4,●を確認ください。
やっぱり！
これ、先に答を聞いちゃってると『 ふーん… 』ですけど、 結構 自分自身でいろいろと頑張って、そのあとで聞いたら
『 おぉおぉーーー！ 』って、なるやつです。
ヒサカが言うには、単純なほど 唸ります。
なぜって、６進法で考えないから辿り着かないんです！
誰のせいなの？？ すぐにやったらどうですかねぇ。
文部科学省検討して!!
※ 前回 紙飛行機の謎 ⇒ 今回 素数とは ⇒ 次は重力と、順番にハードルをあげてナッジをしてゆきます。いきなり重力の話をすると、ヒサカも とうとう頭がおかしくなったんじゃないかと思われますから 軽い肩慣らしみたいなものですね。
;)
